XLI Olimpiada Matemática Española
Fase aragonesa
14 de Enero de 2005

Primera prueba

1.	Determina la máxima potencia de 7 que divide al número  2005! = 2005  2004  ........  3  2  1 .
Solución:  2005 = 286 x 7 + 3, luego hay 286 números entre 1 y 2005 que son múltiplos de 7. Ahora, 286 = 40 x 7 + 6, luego 40 de estos múltiplos de 7 lo son también de  72 = 49 . Por último, 40 = 5 x 7 + 5 , luego 5 de estos 40 son múltiplos de 73 = 343.
Por tanto, la máxima potencia de 7 es 7286+40+5=7331.
2.	Un patio rectangular de 10 por 12 metros está flanqueado en tres de sus lados por begonias, camelias y dalias.
En el lado sin flores están Ana y Emilio, tal como se ve en el croquis.
Ana quiere llevarle a Emilio un ramo que tenga begonias, camelias y dalias, pero además quiere llegar lo antes posible.
¿Cuánto mide el camino más corto?
Razona y justifica  tu respuesta.

Solución:  Dibujando nuevos rectángulos mediante simetrías respecto a lados, vemos que todo recorrido desde A hasta E pasando por los otros tres lados del rectángulo equivale a un recorrido entre A y E’ en el dibujo de abajo. Así obtenemos que el problema equivale a calcular el camino más corto entre los puntos  A  y  E’. Puesto que E’P = 24 y PA = 18;  la solución óptima es AE’ =  = 30 m.

E’

E

A

P

A’

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Segunda prueba

3.	Ya sabes que  (10n)2=102n   y puedes comprobar fácilmente que   832=6889 .  Te pedimos algo más difícil, calcula la raíz cuadrada del número
99 999 999 998 340 000 000 006 889 .
Solución:  Sea N = 99 999 999 998 340 000 000 006 889 . Así   N – 832 = 99 999 999 998 340 000 000 000 000
			= 1026 – 166 0 000 000 000 000
			= 1026 – 2 x 83 x 1013
	Por tanto
		N = 1026 – 2 x 83 x 1013 + 832 = (1013 –83)2
	y la respuesta es 1013-83 = 999 999 999 917 .

4.	Sea ABC un triángulo equilátero. Sean A’, B’ , C’, puntos sobre los tres lados BC, CA y AB, respectivamente, tales que

Los tres segmentos AA’, BB’ y CC’ determinan el triángulo DEF.
Demuestra que el área de este triángulo es un séptimo del área del triángulo ABC.

Solución: Girando ligeramente la figura y trazando paralelas a los lados del triángulo interior obtenemos la siguiente figura:

A

B

C

D

E

F

El área del triángulo ABC es igual al área del triángulo DEF más las áreas de los triángulos ADB, BEC y  CFA. El área de cada uno de éstos es la mitad del área de cuatro triángulos semejantes al DEF. Por tanto el área de ABC es siete veces el área de DEF.
(Alternativamente, se puede tomar un sistema de ejes cartesianos en el que A sea el origen y B el punto (0,1). Ahora se pueden calcular las coordenadas de todos los puntos involucrados y comprobar que la longitud del segmente DE es  1/.)

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Tercera prueba
5.	Sean  p  y  q  dos números naturales con  p ≥ q.  Prueba que para todo número real positivo  x  se tiene que 
(1+xq)p ≥ (1+xp)q
Solución:  Si  0 ≤ x ≤ 1,  entonces  xq ≥ xp, luego 
(1+xq)p ≥ (1+xp)p ≥(1+xp)q .
Y si x ≥ 1, (1+xq)p = (xq(1+(1/x)q))p =xpq(1+(1/x)q)p  que, por ser 0 < 1/x ≤ 1 , ya sabemos que es mayor o igual que xpq(1+(1/x)p)q = (1+xp)q.
6.	Dado un cuadrilátero cualquiera, considera los cuatro triángulos que se forman al trazar sus diagonales. Si sabes el área de tres de estos triángulos, ¿cuál es el área del triángulo que falta?

b

c

¿d?

a

Solución:  Trazamos paralelas a una de las diagonales, y la perpendicular a dicha diagonal por el punto de corte de las dos diagonales, obteniendo la figura:

P

b

c

¿d?

a

O

S

R

Q

Las áreas de los cuatro triángulos son:
  a = OP x OR /2 ,  b = OP x OS /2 ,  c = OQ x OR /2 ,  y
  d = OQ x OS /2 . Luego  a x d = b x c , y  d= (b x c)/a .